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我的哲学的发展-第10部分
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，用精神的望远镜来寻求那个已经推论出来的实体，这个最后的阶段往往是从事这件事情最困难的部分。关于类这个例子，我不得不坦白地说，我没有看出有任何概念可以满足类这个概念的必要条件。在第十章中。
所讨论的矛盾，证明有些东西不大对，但是，这究竟是什么我一直看不出来。“
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《数学原理》：哲学方面９７
我现在对于这件事的说法应该有些不同了。
我应该说，假定有任何命题函数，比如说ｆｘ，那么ｘ的值就有一个相当的范围，就这个值的范围来说，这个函数是“有意义的”
，也就是说，不是真就是伪。如果ａ是在这个范围之中，ｆａ就是一个命题，这个命题不是真就是伪。除了用一个常数代替ｘ这个变数以外，关于一个命题函数，还有两件事可做：一件是说它永远是真；另一件是说它有时是真。
“如果ｘ是人，ｘ就不免于死”这一个命题函数永远是真；“ｘ是人”这一个命题函数有时是真。所以关于一个命题函数有三件事情可做：第一是用一个常数来代替变数；第二是对于这个函数的一切值加以断定；第三是对于一些值，或者至少一个值，加以断定。
命题函数本身只是一个式子而已。它并不对于什么加以断定或否定。同样，一个类不过是一个式子而已。它只是谈使这个函数为真的变数的那些值的一种方便方法而已。
关于上面所说解决这个问题所需要的三个必要条件之中的第三个条件，我曾提出来一个学说，这个学说好象是不合别的那些逻辑学家的意的。可是在我看来，这个学说仍然是正确的。这个学说可以述之如下：当我对于一个ｆｘ函数的一切值加以断定的时候，我断定的若要明确，ｘ所能采取的值就必须是明确的。那就是说，ｘ所可能有的值必须有一个总体。
如果我现在进而创立以那个总体来说明的新的值，这个总体好象就因此扩大了，而且与它有关的新的值也就因此和那个扩大了的总体有了关系。但是，因为新的值不能不包括在这个总体之中，这个总体就永远追不上这些新的值，这个过程就好象你想要跳到你的头的影子上。我们用那个关于说谎的
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０８第 七 章
人的悖论最能简单地对于这一点加以说明。
那个说谎的人说：“不论我说什么都是假的”。
事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。我们不能不把涉及命题总体的命题和不涉及命题总体的命题加以区分。那些涉及命题总体的命题决不能是那个总体之中的份子。第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。
所以我们那位说谎的人现在就不能不说：“现在就是肯定一个第一级的伪命题，这是伪的。”但这本身是一个第二级的命题。
所以他不是说出任何第一级的命题。因此他所说的简直就是伪的，说它也是真的这种议论不攻自破。这种论证完全可以用于任何高一级的命题。
我们可以发见，在一切逻辑的悖论里都有一种反身的自指，这种反身自指应该根据同样的理由加以指斥。
那就是说，它包含讲那个总体的某种东西（这种东西又是总体中的一份子）。如果这个总体已经固定了，这种东西才有明确的意义。
我不能不坦白地说，这个学说还没有获得广泛的承认。
但是我还没有见到能使我信服的反对这个学说的论证。
前面曾经提过的叙述学说是在发表于一九○五年《心》学报的我的一篇文章《论指示》中第一次提出的。那时的那位编辑人觉得这个学说很不合理，他请我重加考虑，不要要求照原样发表。但是，我相信这个学说是正确的，我拒绝让步。
这个学说后来得到普遍的承认，大家以为这是我对于逻辑最重要的贡献。的确，现在那些不相信名称和别的字之间是有
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《数学原理》：哲学方面１８
区别的人对于这个学说是有一种反应。但是我认为只有在那些没有弄过数理逻辑的人之中才有这种反应。总而言之，我在他们的批评里看不出任何正确性来。可是我承认，也许名称学说要比我有一个时期所想的稍微难一点。可是我暂时把这些困难搁下不管，来讲一讲普通所用的日常语言。
我曾取“斯考特”这个名称和“《威弗雷》的作者”这个叙述之间的对比来作我的论证之用。
“斯考特是《威弗雷》的作者”
这个命题是表示一个同一性，不表示一个同义反复。
佐治第四想知道斯考特是不是《威弗雷》的作者，可是他并不想知道斯考特是不是斯考特。虽然这使每一个未曾研究过逻辑的人都能了解，对于逻辑学家却是一个谜。逻辑学家们认为（也可以说从前认为）
，如果两种措辞是指一种东西，包含其一措辞的一个命题就永远可以被包含另一种措辞的一个命题所代替，而不失其为真，如果原来那个命题是真，或不失其为伪，如果原来那个命题是伪。
但是，我们已经说过，用“斯考特”代替了“《威弗雷》的作者”之后，你可以把一个真命题变成一个伪命题。这表明不能不把一个名称和一个叙述加以区别：“斯考特”是一个名称，可是“《威弗雷》的作者”就是一个叙述。
名称与叙述之间另外一种重要的分别是，如果一个名称没有所指，它在一个命题里就没有意义，而一个叙述却不受这种限制。我对麦农的工作原是表很大的敬意的，他却看不出这种区别来。他曾经指出，我们可以提出一些命题来，其逻辑的主辞是“金山”
，虽则金山并不存在。他的持论是，如果你说金山并不存在，显然你所说的有一种东西是不存在的，
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２８第 七 章
也就是说，金山：所以金山一定是存在于柏拉图哲学里某种渺茫的有的世界之中，因为，若不是如此，你的那个金山不存在的命题就是没有意义的。我老实说，在我想出叙述学说以前，我觉得麦农这种论证是令人信服的。这个学说的要点是，虽然“金山”在文法上可以是一个有意义的命题的主辞，这样一个命题，如果正确地分析了以后，就没有这样一个主辞了。
“金山不存在”
这个命题就变成了“就ｘ的一切值来说，‘ｘ是金的而且是一座山’这个命题函项是伪的”。
“斯考特是《威弗雷》的作者”这个命题变成了“就ｘ的一切值来说，‘ｘ写了《威弗雷》’等于‘ｘ是斯考特’。”在这里，“《威弗雷》的作者”的字样就不再出现了。
这个学说还弄明白了“存在”是什么意思。
“《威弗雷》的作者存在”意思是说“有一个ｃ的值，就这一个值来说，ｘ写了《威弗雷》‘永远等于’ｘ是ｃ‘这一个命题函项是真的。”
从这个意义来说，存在只能用来说一个叙述，而且，经过了分析之后，就可以见出是一个命题函项的例子，至少就变项的一个值来说是真的。我们可以说“《威弗雷》的作者存在”
，我们也可以说“斯考特是《威弗雷》的作者”
，但是“斯考特存在”
是不正确的说法。
这种说法最多能解释为有这种意思：“名叫斯考特的那个人存在”
，但是“名叫斯考特的那个人”是一个叙述，不是一个名称。凡是把一个名称适当地当做一个名称用的时候，说“它存在”是不正确的。
叙述学说的主要之点是，一个短语对于一句话的意思可以有所贡献，若是单独用的时候就完全不具有任何意义。就叙述来说，关于这一点有精确的证明：如果“《威弗雷》的
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《数学原理》：哲学方面３８
作者“是指”斯考特“以外的什么东西，”斯考特是《威弗雷》的作者“就是伪的，实际上这个命题并不伪。如果”《威弗雷》的作者“是指斯考特，”斯考特是《威弗雷》的作者“就是同义反复，而实际上并非如此。所以，”《威弗雷》的作者“既不指”斯考特“
，也不指什么别的东西。那就是说，“《威弗雷》的作者”什么也不指。证讫。
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第八章 《数学原理》：数学方面。。。。
大家只从哲学的观点来看《数学原理》，怀特海和我对此都表失望。对于关于矛盾的讨论和是否普通数学是从纯乎逻辑的前提正确地演绎出来的问题，大家很有兴趣，但是对于这部书里所发现的数学技巧，大家是不感兴趣的。我从前知道只有六个人读了这部书的后面几部分。
其中三个是波兰人，后来（我相信）被希特勒给清算掉了。另外三个是得克萨斯州人，后来被同化得很满意。甚至有些人，他们所研究的问题和我们的问题完全一样，认为不值得查一查《数学原理》关于这些问题是怎么说的。我举两个例子：大约在《数学原理》出版十年之后，《数学纪事》发表了一篇长文，其中一些结果我们在我们的书里的第四部分不约而同早已经弄出来了。这篇文章里有些错误，我们却避免了，可是没有一个正确的地方不是我们已经发表过的。这篇文章的作者显然完全不知道他的这种工作早已经有人先他而为之了。第二个例子是在我在加利福尼亚大学和莱申巴赫同事的时候出现的。他告诉我，他有一项发明，他把数学归纳法引伸了。他名之为“超限归纳法”。我对他说，这个问题是在《数学原理》的第三卷里充分讨论过的。过了一个星期，他对我说，他已经证实了这一点。我想在本章里尽可能不过于专门，从数学的观点，不从哲学的观点，把《数学原理》我认为重要的几方面
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《数学原理》：数学方面５８
解释一下。
我先从一个问题着手，这是一个哲学上的问题，也同样是一个数学上的问题，就是，关系的重要性。在我的论莱布尼茨的书里，我曾着重讨论过有关系的事实和命题的重要性，和这些相对立的是由本体——和——属性而成的事实和由主辞——和——宾辞而成的命题。我发现对关系所持的偏见在哲学和数学里是发生了不良影响的。正象莱布尼茨未获成功的努力一样，布尔的数理逻辑是讨论类的包含的，而且只是三段论法的一种发展。皮尔斯曾弄出一种关系逻辑，但他是把关系当作一种由双而成的类。这在技术上是可能的，但是并不自然而然地把注意力引向重要的东西。在关系逻辑里重要的东西是与类逻辑不同的东西。关于关系，我在哲学方面的意见有助于使我着重一种东西，这种东西结果变得极为有用。
在那个时候，我几乎是只把关系认做是内包。我想到了。。
这样一些句子：“ｘ在ｙ之前”
、“ｘ大于ｙ”
、“ｘ在ｙ之北”。
那时我觉得（我现在确是仍然觉得）
，虽然从一种形式算法的观点来看我们可以把关系当做一套有序的偶，可是使这一套成为一个统一体的只是内包。当然，类也是如此。使一个类成为一个统一体的只有那个为类中的各项所共具、又为各项所特有的内包。凡是我们对付一个类，其中的项我们无法列举的时候，上面所讲的道理是显而易见的。
就无限的类来说，无法列举是很明显的，可是大多数有限的类也正是如此。举例来说，谁能列举蠼螋这个类其中的各项呢？虽然如此，我们还是可以说出一些关于一切蠼螋的命题来（或真或伪）
，我们
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６８第 八 章
之所以能够如此，乃是由于使这个类所以能够成立的内包。
以上所说各点也一样可以用于关系。关于时间上的次序，我们有很多事情可说，因为我们懂得“在先”这个字的意思，虽然ｘ在ｙ之先这样的ｘ，ｙ一切的偶我们是无法列举的。
但是对于关系是偶的类这种见解还有一个反对的议论：这些偶必须是有序的偶，那就是说，我们必须能够分别。。。ｘ，ｙ这个偶和ｙ，ｘ这个偶。
若是不藉内包上的某种关系，这是做不到的。
只要我们只限于类和宾辞，就不可能解释次序，或把一个有序的偶和无序的一个两项的类加以区分。
所有这些都是我们在《数学原理》里所发展出来的关系算法的哲学背景。我们不得不把各种概念用符号来表示，这些概念在以前是数理逻辑学家们没有弄得显著的。这些概念中最重要的是：（１）由一些项而成的类，这些项对于一个既定的ｙ项有Ｒ关系；（２）由一些项而成的类，对于这些项一个既定的ｘ项有Ｒ关系；（３）关系的“范围”
，这个范围是由一个类而成，这个类中所有的项对于某种什么东西有Ｒ关系；（４）
Ｒ的“相反范围”
，这个范围是由一个类而成，某种什么东西对于这个类中所有的项有Ｒ关系；（５）Ｒ的“领域”
，这个领域是由上面所说的那种“范围”和“相反范围”
而成；（６）一种Ｒ关系的“反面”
，这是ｘ和ｙ之间有Ｒ关系的时候，ｙ和ｘ之间所具的一种关系；（７）
Ｒ和Ｓ两种关系的“关系产物”
，这是有一个ｙ中项的时候，ｘ和ｚ之间的一种关系，ｘ对于ｙ有Ｒ关系，ｙ对于ｚ有Ｓ关系；（８）复数，其界说如下：有既定的某ａ类，我们形成一个由若干项而成的类，所有这些项对于ａ的某项有Ｒ关系。我们可以看一看人与人
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《数学原理》：数学方面７８
的关系来作以上各种概念的例子。举例来说，假定Ｒ是父母与子女的关系。那么，（１）就是ｙ的父母；（２）是ｘ的子女；（３）是所有那些有子女的人的类；（４）是所有那些有父母的人的类，那就是说，除了亚当和夏娃以外，每人都包括在内；（５）
“父母”关系的领域包括每个人，他或是某人的父母，或是某人的子女；（６）
“的父母”这种关系的反面是“的子女”
那么一种关系；（７）“祖父母”是父母与父母的关系产物，“弟兄或姊妹”是“子女”与“父母”的关系产物，“堂兄弟或弟兄或姊妹”是孙和祖父母的关系产物，其余可以类推；（８）
“伊通学院学生的父母”是按这一个意义来说的复数。
不同种类的关系有不同种类的用处。我们可以先讲一种关系，这种关系产生一种东西，我名之曰“叙述函项”。这是最多只有一项对于既定的一项所能有的一种关系。这种关系产生用单数的“ｔｈｅ”这个字的短语，如“ｔｈｅ
ｆａｔｈｅｒ
ｏｆ
ｘ“
（ｘ的父亲）
，“ｔｈｅ
ｄｏｕ－ｂｌｅ
ｏｆ
ｘ“
（ｘ的两倍）
，“ｔｈｅ
ｓｉｎｅ
ｏｆ
ｘ“
（ｘ的正弦）
，以及数学中所有的普通函数。
这种函项只能由我名之曰“一对多”的那种关系产生出来，也就是最多一项对于任何别的�
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